1: しじみ ★ 19(木) 10:03:17.94 ID:Y3T6D/1H9
■東大入試に求められる「数学のセンス」とは？
「数学のセンス」とはいったい何でしょうか。「計算が速い」だけでは、どうも違う気がします。「公式をよく知っている」というのもちょっと違うかな。でも、「公式を自由に使うことができる」となるとセンスかなあ、と感じるかもしれません。
そこで、東京大学の入試問題を見てみましょう。どのようなセンスや基礎学力が要求されているかを念頭に置きながら、問題を楽しんでください。数学を楽しむことができる。これも重要な数学のセンスでしょうね。
■伝説の良問 1「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」
円周率を計算!?
https://dol.ismcdn.jp/mwimgs/d/8/670m/img_d8864a664c4048e2fb39f012121b32dd96640.jpg
円周率πは古代ギリシャから今日に至るまで、さまざまな話題を提供してくれる数です。
3.14159……と延々と（周期性がなく）続く超越数であるという難しさと、円周の長さとその円の直径の比という小学生でも分かる身近さの、二つの顔を持つ点が人気の秘密なのでしょう。
このようなすてきな数は、他には見当たりません。このすてきな数を東大は入試問題にしました。でも、円周率が3.14ではなく、3.05より大？ なぜでしょうか。
約2200年前、ギリシャのアルキメデスは、円に内接する正96角形と円に外接する正96角形の周の長さを計算して比較し、πは71分の233と7分の22の間にあることを見つけました。πの値が直接求められないならば、πに近づく方法を考えればよいという現代の解析学に近いような考え方をすでにしていたのです。
日本でも、江戸時代の数学者、建部賢弘（たけべ・かたひろ）が正方形から始め、加速法という手法を駆使して正1024角形までを計算し、小数点以下41桁まで求めたといいます。
この東西二つの計算法は、円周率を円周の長さと直径の関係で捉え、正多角形を用いるという、基本的には同じ考え方ですね。
話はちょっと脱線しますが、ここに東西の文化の違いが隠れています。アルキメデスの正96角形の96は6の16倍ですから、まず正六角形からスタートし、正12角形、正24角形……と次々に辺の数を2倍にして計算したのです。
一方、1024は2の10乗ですから、建部は正方形からスタートし、正八角形、正16角形、……正512角形、正1024角形と2倍にして計算していったようです。
西洋のアルキメデスは合理的で、1辺の長さが半径に等しい正六角形から始めたのですが、建部のスタートは正方形。日本は木の文化で、門などの造形の基調は四角形であり、西洋のようなアーチは少ないので、正方形から始める方が自然だったのかもしれませんね。
さて、東大入試はまさしくこれらの方法でπを求めなさいという趣旨でしょう。まず正六角形ならば、周の長さは半径の6倍。円周率は「3より大」と求められますが、東大の要求は「3.05より大」を示すことですから、惜しい！
ならば、正六角形の次に正八角形を調べようという人と、正12角形を調べようという人がいるでしょう。いずれの方法も3.05より大きいと示すことができます。3.14に比べて、かなり大まかな近似値ですから、ＯＫとなるわけですね。これが、東大が3.05に込めた秘密なのです。
この計算は小学生でもできます。半径が1の円に内接する正六角形と正12角形を描き、考察してみましょう。
図で、三角形ＯＡＴは正三角形の半分の直角三角形。
OA=1、AT=0.5だから、三平方の定理（ピタゴラスの定理）により、ＯＴの長さが分かります。OK=1から、ＫＴの長さが計算でき、さらに、直角三角形ＫＴＡに三平方の定理を用いてＡＫ、つまり正12角形の1辺の長さを得ることができます。概算は次の図のようになります。
正12角形の周の長さは、0.518×12=6.216。円周の長さ2πはこれよりも大きいので、πは3.108よりも大きい。これで東大はほぼ合格ですね。
このように、東大はπの近似値を求める計算方法を自ら見いだして計算できるかを問うているのですね。単に計算するだけでなく、その方法も見いだす。これが本当の意味での計算力です。計算のセンスを垣間見ることができる良問でしょう。
https://diamond.jp/articles/-/213733
引用元: http://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1568854997/
13: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:09:37.20 ID:belymsCb0
>>1
で、なんで、東大工学部卒の鳩山はルーピーで
菊川は専門のコンクリート土方をやってないんだ？
51: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:20:12.45 ID:fXQ7e9yr0
>>13
小泉進次郎は関東学院大ポエム科卒
自分の年齢に30足すといくつになるか、即座に言えないという、2桁の足し算もできない幼稚園児脳
15: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:10:07.02 ID:NwZf0ZhT0
>>1
これ
23: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:11:49.76 ID:t2+LUmOI0
>>1
すげぇ！ 自分だったら絶対正答できないわ。国立理系なのに
34: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:15:55.68 ID:Q22FjRrk0
>>1
これはさすがに俺でも解ける
特に六角形スタートだと初期値3で計算が楽だし
62: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:22:48.92 ID:UnUikmlh0
>>1 >πは3.108よりも大きい。これで東大はほぼ合格ですね。
一問だけ解けて合格とかありえんわ
2: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:04:17.44 ID:tsVONOKa0
愚問
20: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:11:22.04 ID:2O3cYGPV0
考えかたを導き出すだけなら、π>>2を証明しろって方が単純でいい
3: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:04:52.73 ID:nSB6AYbk0
3.15−3.05
9: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:08:24.74 ID:48z72T130
円周率は3.14なので3.14>>3.05
おｋ？
円周率を証明しろと言われたら問題飛ばす。
55: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:21:05.67 ID:M6Ujn0Ed0
>>9
円周率は3.14じゃねえよ馬鹿
3.14は単なる近似値
4: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:05:58.83 ID:EPTZOS5K0
┏( .-. ┏ ) ┓
【ピカチュウ】🐹 1/2
*任天堂「ピカチュウ」のモデルは私です
・私は、昭和47年生まれ（ネズミ年）
・鼠先輩の歌詞が私の口癖のうぽぽ
・人体実験のモルモット
・電撃技のラムちゃんも私がモデル
（私は宇宙人では無いし、電撃は出せない）
*「まだつぼみ」とは、二十代前半の私がモデル
*「くさいはな」とは、それ以降の私がモデル
以前はずっと寝腐ってたが
最近は一睡も出来ない拷問を受けている
*大阪「咲くやこの花館」
映画「ジュマンジ」ボードゲーム盤
「まだつぼみ」の頃の駒位置 ax
5: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:06:17.23 ID:j+FwbAe40
数学的帰納法で簡単に証明できるしな
6: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:06:33.20 ID:oYOy9S1n0
証明ってとにかく苦手だったなぁ
7: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:06:44.16 ID:f35YlBST0
内接する多角形の辺を求めるなんてセンスゼロだろｗ
8: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:07:15.28 ID:SLeRkpMC0
正五角形の書き方なら知ってる
57: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:21:43.63 ID:4crX12Fv0
>>8
ケーキ5等分に切れるんだ…(´・ω・｀)
10: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:08:42.08 ID:qhAZzO6i0
円周率って何ぞや、私の頭はこの程度だ
14: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:09:52.93 ID:L/fosekj0
>>10
円周の長さと直径の比率
11: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:09:17.22 ID:abcO6btg0
円周率の歴史を知ってたら普通に解けるボーナス問題
73: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:25:52.77 ID:LbZ7eo2X0
>>11
これ。
試験に正解するための必要最低限の勉強しかしていない人と
学問に好奇心をもって取り組んでいる人との違い
12: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:09:33.07 ID:ZXElkjNM0
半径3センチの円と5センチの円が相似なことをどうやって証明したらいいんだ？
16: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:10:08.88 ID:sBPRzoPl0
3.14だからそんな常識も知らないんですかぁ？論破です
17: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:10:11.71 ID:DxLOWKV30
おニャン子クラブのおかげで
3.1415926535897まで記憶できてるなぁ
91: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:28:41.38 ID:HQSH+V8G0
>>17
おれ、ブルーハーツ
18: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:10:12.00 ID:a0TQHPIU0
円周率は10桁程度知ってれば地球規模の円でも誤差数ミリになるから天文学的運用でも問題ない
19: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:10:13.58 ID:AnMzIrYC0
馬鹿だなぁ、小学校の先生が「円周率は3.14」と教えてくれたよ。この問題を出したやつは
小学生から勉強やり直せよ。
21: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:11:35.50 ID:NwZf0ZhT0
>>19
ゆとり教育で円周率を3にしたときに出された問題なんだが？
82: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:27:05.79 ID:5iZ/Bisn0
>>21
それも間違い
「状況に応じて3や3.1にしてもよい」としたのを馬鹿な先生とか教育関係者が勘違いしただけ
30: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:14:27.14 ID:lJl2KNRf0
>>19
小学校の先生が正しいことを証明せよ！！
22: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:11:48.80 ID:2U8Evcpv0
なんで3.14でも3.1でもなく3.05なんだろうか
27: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:14:12.41 ID:NwZf0ZhT0
>>22
実際に解いてみなよ
3.1だと高校生レベルでは無理だ
24: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:12:00.70 ID:DhdtekbR0
ルーピー見てて思うがお勉強できてもバカはバカなんだよな…
25: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:13:04.50 ID:Pupg94jl0
円周率って３じゃないの？
26: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:13:18.29 ID:6zeT2cu30
3角形のの外周
6角形の外周
12角形の外周
と円に近づけていき、3.05を超えれば証明できる
28: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:14:14.60 ID:1mfpQWcA0
良問ってほどでもないと思うけどな
方針はすぐに思い浮かぶわけで、計算力勝負になる愚問
41: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:17:58.63 ID:NwZf0ZhT0
>>28 円周率を3にした
ゆとり教育へのアンチテーゼ
として作られた問題だから
これ解けない東大生はいないよ
29: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:14:21.05 ID:NCXQvRZU0
31: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:14:54.38 ID:4PljttZj0
東大生ならもっと別の方法で証明できるだろ
AIとか使えよ
32: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:15:09.48 ID:dZNtTL9U0
ん？
これ十二角形だけじゃ証明にならんだろ
少なくとももう一個3.05以上になるケースを計算する必要がある
44: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:18:33.19 ID:6zeT2cu30
>>32
２４角形と3.05を超えるまで多角形にする力業
何角形で3.05超えるかわ知らない
33: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:15:44.92 ID:geOSA/cq0
簡潔で綺麗な式でお願いってことだろ
E＝Mｃ２みたいな
35: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:16:13.04 ID:YwT1/kZU0
円周率って3.14…って小学生でも使うけど
どうやって、導き出されたのかを知るのは
高三になってから
60: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:22:14.41 ID:VPJ3eFWJ0
>>35
中学校で習ったけど、最近はやらないのか。
92: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:28:59.67 ID:PRGp2Kev0
>>35 なぜか小学生の時に知ってたなぁ
漫画かなんかだろうか？もしくは先生の小話か？
この問題は物事の周辺情報含めて覚えてるかのふるいにもなるし良い問題
中学生の数学が習得さえできてりゃ絶対解ける
小学生でも上の奴らなら理解できるしね
36: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:16:53.80 ID:bKf9g8nr0
かなり力技での解法だな
37: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:17:18.23 ID:dZNtTL9U0
後出しジャンケナーが多いな
当時の正答率とか低そうなもんだが
東大受験生に解けないものをおまえらごときが解けるわけがない
46: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:19:33.99 ID:Q22FjRrk0
>>37
簡単だろ
小学生でも解けるし、これ解いたらからって東大に入れるって訳でもないし
76: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:26:13.75 ID:Ljzl7fPk0
>>37
東大卒（この問題が出るちょっと前に入学）だが、試験場で解けって言われてもたぶん無理
38: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:17:28.12 ID:EPTZOS5K0
39: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:17:31.71 ID:wuhYl/9u0
40: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:17:48.73 ID:bOZMPADk0
A.パイは大きい方がいいに決まってるから
Q.E.D
42: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:18:00.94 ID:uJxopELx0
オレは707桁まで求めた
68: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:24:49.00 ID:KHLyu8cS0
>>42
一生を円周率の計算にかけたのか
ごくろうさん。
涅槃で待つ
43: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:18:10.80 ID:2KMF2ODb0
一見良問に思える愚問
解けても、せいぜいちょっと賢いでしゅねーって言われる程度
発想がベタでも解ける
45: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:18:57.47 ID:dol6BcAG0
昔の人の方が頭が良かったんだなあ････
47: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:19:43.09 ID:hkJV9HLS0
大学受験の数学は暗記
灘高の先生がいうんだから間違いない
48: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:19:46.10 ID:GCBpBlro0
A 3.1425・・・と中学校でならったから。
49: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:19:57.50 ID:nGeh0E1s0
円周率3は数学的に間違っていることを示すために作られた問題
50: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:20:09.82 ID:JoHihGPO0
「およそ３」と記憶したが、２．９ぐらいじゃないの？
52: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:20:18.14 ID:kxX+gdFU0
実は円周率はゼロ。e^πi = -1 を2乗して e^2πi = 1、これの log を取ると2πi = 0 になるから π = 0。
53: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:20:35.91 ID:Cn1GGiPq0
５チャンネル層には無駄なタイトル。
右か左しか考えられないバカばっかりだから。
54: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:20:36.55 ID:UnUikmlh0
ラマヌジャンは真の天才
56: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:21:24.79 ID:tBpEuga20
微分積分大好きか
66: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:23:34.71 ID:Q22FjRrk0
>>56
今だったら『証明する計算プログラムを書け』という問題にした方が面白いかも
58: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:21:48.05 ID:uI3OZ6zR0
数学は面白いけどメンドクセーでダメでした
芸術家向きなんでしょうかね w
59: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:21:53.69 ID:OAvdvlHR0
和算の方法で答えたらアウトなの？
東大ってバカだから和算できないやつしかいなそうだな
61: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:22:36.97 ID:dZNtTL9U0
微積で極限を出せるようにしとかないとダメなんじゃないか
63: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:23:09.07 ID:N/DmvKZB0
円周率の証明は、プログラムを作らせる時代になったのではないか
64: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:23:16.08 ID:80COOsZh0
めんどうだから1でいいと思う。（理系大卒）
65: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:23:25.38 ID:m47PT2300
令和のガウスと呼ばれる俺様降臨☆何でも聞いてくれたまへ
77: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:26:13.84 ID:KHLyu8cS0
>>65
あれはラマヌジャンの再来だ。すべては神が教えてくれるから、高校・大学へ行く必要を認めなかった。
67: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:23:42.66 ID:M5AyI8Mh0
数学って基本
「公式はこうなってるから覚えとけ。え？何でそういう公式になるのか理由を教えろ？
四の五の言わずに覚えときゃいいんじゃ！そうなってんだから！」
みたいな問題が多かったな・・「答えは一つしか認めん！」みたいな
81: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:27:04.83 ID:bk5EcEet0
>>67
自分の友人の数学教師は数学は答えが一つしかないから好きと言ってた。
国語みたいに感性で答えの様子が変わるみたいなのは意地悪なんだと。
69: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:25:15.06 ID:gLB+N55V0
円周率は３と教わった(・ω・)
70: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:25:23.61 ID:/6Sldu9x0
東大生なら問題読んで2秒で方針は浮かぶ
正何角形が一番回答が早いかを10秒で考えて
1分で回答完了
MARCHクラスなら良問かもね
83: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:27:36.14 ID:5iZ/Bisn0
>>70
意外とその後が面倒なんだわ
71: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:25:45.86 ID:4t1+L4js0
円周率・・・神様でも割り切れないと思ってていい？
高卒のおバカですけど。
72: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:25:50.26 ID:OpgKoH170
円周率って円の直径の長さをを1とした時の円の長さがその直径の3.1415…倍ってやつだったっけ？
74: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:26:01.72 ID:tEckcbZi0
よくわからないからガンダムで例えてくれ
75: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:26:13.20 ID:dZNtTL9U0
直径から正方形の周囲を出してもいいわけか
4→12はい超えた論破終了
78: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:26:33.68 ID:W4J/8A9Z0
つまんない問題。
79: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:26:36.54 ID:X3UH7aIu0
足し算から教えてくれよ(´・ω・｀)
80: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:27:03.85 ID:W4J/8A9Z0
紙の上での屁理屈。
84: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:27:40.78 ID:N92NJ7zU0
それだけでは「3.05」である意味は分からないんでは？
85: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:27:45.83 ID:671D36ef0
こういうの好き
86: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:28:01.83 ID:BjdZqwyL0
証明問題は苦手だなぁ
文章を書くのは苦ではなかったが数学的見地を文章で表すのは兎角難しかった
87: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:28:10.26 ID:gDzh1A5F0
円に内接する正n角形の外周を求めた時に正六角形が3だから
正12か24を求めてやればいい
88: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:28:21.03 ID:BqTg3gdg0
ちょっと何言ってるのかワカラナイ
89: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:28:26.55 ID:W4J/8A9Z0
リアリティーがまったくなし。
こういう屁理屈は一般人にはあんまり利益がない。
90: 名無しさん＠１周年 19(木) 10:28:28.08 ID:dZNtTL9U0
回答者がどういう思考と感覚を持っているのかがよくわかるだろうな
たしかにこれ良問ですわ
